中学数学问题(十二道)

待定系数法设好过(-1,1)的直线的解析式为y=k(x+1)+1。那么联立直线与抛物线的解析式,可以用含k的式子表示出M,N的横纵坐标(实际上表示出来很复杂，有根式)。理论上，我们可以继续待定系数法，引入参数m,和k一起表示过M点的直线；引入参数n,和k一起表示过N点的直线。再根据与抛物线相切，即两直线分别与抛物线方程联立，消元得到的新方程的判别式应该等于0。由此得到的两个关系式，理论上可以得到m,n与k的关系，从而消掉m,n。即是说，我们理论上可以用k表示出分别过M,N的两条切线的方程，从而求出二者的交点G。事实上，以上分析从第一步就打止了，因为M,N的横坐标解出来是一个含有根式的复杂式子。

本题的正确解法是，待定直线的解析式为y=k(x+1)+1后，联立直线与抛物线的解析式，利用韦达定理，得到两根之和与两根之积的表达式。然后MG,NG两条直线分别也和抛物线方程联立，利用韦达定理，从而用两个根(即M,N的横坐标)表示出两条直线的解析式。最后利用一开始得到的两根之和与两根之积的表达式，消去k，求G点的坐标，得到其横纵坐标的一个关系式。

都合格的最多10人,那么假设都合格的是10人,从植树这一项目来看,则会有植树合格的15人,他们的除草是优秀.即一优一合格的会有至少15人,那么都优的最多只能有20人.

此题角A,B是三角形的内角,这有一个容易忽视的隐含条件,即A+B<180,也就是说A+B的一半小于90.这是一个比较强的条件,最后分析此条件下三角函数的变化,最后发现答案是A.如果没有注意到这个条件,此题就分析不出来.

这里思考了很久，因此记录思考一下。这种解法有问题。图中画下划线部分，m,n的平方和大于等于2mn，但是2mn并不是m,n平方和的最小值。左边的式子与右边的式子，可以看作同一个三维坐标系下两个曲面必然具有的一种关系。但是m,n的平方和的最小值是0，在这个题目的具体限制条件下则另有答案。无论如何，关于某些变量的式子 与 另一个式子的大小比较，不意味着前式的最值。求其最值应该是求出一个确定的值才对，而不是另一个函数。